les règles mathématiques régissant la perspective.

Après avoirs vus l’évolution de la perspective à travers les âges nous allons nous intéresser à la mathématisation de la perspective. Nous allons commencer par vous donner la définition mathématique de la perspective centrale.

Soit un point O, un plan du tableau noté (T) (le point O ne doit pas être dans le plan (T)). Pour n’importe quel point M de l’espace on associe (cela n’est pas tout le temps possible) le point m, intersection de la droite (OM) et du plan (T). C’est la projection sur le plan (T) de centre O du point M. C’est la perspective de point de vues O avec (T) représentant le tableau.

 

 

 

Intéressons nous maintenant aux propriétés de la perspective centrale ou parfois dite à point de fuite.

Commençons par savoir si toutes  les droites ont-une image ? Les droites de T0 (plan parallèles a (T) passant par O) n’ont pas d’image.

 

 

 

 

Maintenant que nous savons quels point ont une image, comment obtenir cette image ? L’image d’un point M par la projection de centre O est l’intersection de la droite (OM) et du plan (T), on note se point m.

 

 

 

 

 Comme nous pouvons trouver l’image d’un point il nous est possible de trouver l’image d’une droite. Pour les droites ne passants pas par O les images des points composants cette droites est une droites, intersection du plan (T) et du plan définis par le point O et la droite D. Cas particulier : si D est parallèles a (T) alors D est parallèles a d.

 

 

 

 

 

 

 Nous allons voir le cas ou la droite D passe par O, son image est alors le point d’intersection de D avec (T), l’intersection d’un plan et d’une droite est un point, on note ce point d.

 

 

 

 

Regardons maintenant si la projection centrale conserve les milieux. Pour cela nous traçons une figure.

 

 

 

 

 

 

Grâce à ce dessin nous pouvons voir que les milieux ne sont pas conservés.Il y a cependant des exeptions  pour les segments parallèles à (T) ou les milieux ainsi que les rapports sont conservés, ces segments sont dits frontaux.

 

 

 

 

 

 

Occupons nous maintenant du cas de la projection deux droites parallèles entre elles mais non parallèles au plan (T). Soit D et D’ sont deux droites parallèles entre elles et sécantes au plan (T), alors les droites d et d’ projection sur (T) de centre O des droites D et D’ sont sécantes en point I  (appartenant a (T)), intersection de (T) et de la droites parallèles a D et D’ passant par O.

 

 

 

 

 

 

 

Nous allons maintenant voir les utilisations de ces règles dans la peinture.

On suppose que DHD’H’ est un mur posé verticalement sur le sol. La source lumineuse O est supposée ponctuelle posé sur le sol grâce a son pied P. Comment pouvons nous tracer l’ombre du mur sur le sol ?

 

 

Nous devons tracer les droites (PD’) ; (PD) elle forme le sol ou sera projeté l’ombre du mur. Ensuite il faut tracer les droites (OH); (OH’) qui représente les rayons lumineux qui passe au dessus du mur.

Nous obtenons la figure ci-dessous, l’ombre du mur est le quadrilatère Dhh’D’.

 

 

Comment construire un carrelage respectant une perspective mathématiquement exacte lorsque l’on dispose de la première rangé de carreaux ?

 

 

 

 

 

Le point O est le point de fuite du tableau, c’est le point ou toutes les droites du tableau sauf les perpendiculaires au tableau qui reste comme dans la réalité (voir propriété ci-dessus). Il faut tracer les droites entre les points I ; J ; K ; L ; M ; N ; P et le point O. Ensuite il faut tracer la diagonale du premier carreau. Il faut ensuite tracer la droite parallèle à la droite (D) passant par le point d’intersection des droites (ID1) et (KO). Nous avons maintenant la deuxième rangée de carreaux. Pour obtenir la troisième rangé il faut tracer la droite parallèle à (D) passant par l’intersection des droites (LO) et (ID1). Il faut ensuite reporter ce principe pour obtenir le carrelages complet.

 

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